Светило науки - 2317 ответов - 8666 раз оказано помощи
Ответ:
180.
Объяснение:
Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке E (благодаря тому, что углы A и D по условию острые, точка E их пересечения будет расположена так, как на чертеже). Обозначив середину стороны BC буквой F и учитывая, что биссектрисы пересекаются в одной точке, получаем, что AF, DF, EF - куски биссектрис треугольника AED до их точки пересечения. В треугольнике BEC биссектриса EF является одновременно медианой, поэтому этот треугольник равнобедренный, BE=CE, а EF одновременно является и высотой.
Для дальнейших рассуждений нам понадобится такой факт (любой желающий без проблем его докажет): один из углов между двумя биссектрисами треугольника равен 90°+ половина третьего угла.
Поэтому, если углы A и D равны и соответственно, то
Вывод: треугольники ABF, FCD и AFD подобны. Обозначим BF=FC=x; AF=y; FD=z. Из подобия первого треугольника и второго получаем
Из подобия первого и третьего треугольников получаем
Из подобия второго и третьего треугольников получаем
Для упрощения выкладок рассмотрим еще один треугольник, подобный этим трем - со сторонами Найдем по теореме косинусов угол против стороны
поэтому его площадь равна
Наши три треугольника, подобных этому с коэффициентами подобия , будут иметь площади, получаемые из найденной площади домножением на квадрат коэффициента подобия, а поскольку исходный четырехугольник состоит из этих трех треугольников, его площадь будет равна
Ответ:
180.
Объяснение:
Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке E (благодаря тому, что углы A и D по условию острые, точка E их пересечения будет расположена так, как на чертеже). Обозначив середину стороны BC буквой F и учитывая, что биссектрисы пересекаются в одной точке, получаем, что AF, DF, EF - куски биссектрис треугольника AED до их точки пересечения. В треугольнике BEC биссектриса EF является одновременно медианой, поэтому этот треугольник равнобедренный, BE=CE, а EF одновременно является и высотой.
Для дальнейших рассуждений нам понадобится такой факт (любой желающий без проблем его докажет): один из углов между двумя биссектрисами треугольника равен 90°+ половина третьего угла.
Поэтому, если углы A и D равны
и 
соответственно, то
Вывод: треугольники ABF, FCD и AFD подобны. Обозначим BF=FC=x; AF=y; FD=z. Из подобия первого треугольника и второго получаем
Из подобия первого и третьего треугольников получаем
Из подобия второго и третьего треугольников получаем
Для упрощения выкладок рассмотрим еще один треугольник, подобный этим трем - со сторонами
Найдем по теореме косинусов угол против стороны 
поэтому его площадь равна
Наши три треугольника, подобных этому с коэффициентами подобия
, будут иметь площади, получаемые из найденной площади домножением на квадрат коэффициента подобия, а поскольку исходный четырехугольник состоит из этих трех треугольников, его площадь будет равна