Через вершину А правильного треугольника АВС проведена плоскость α параллельно стороне ВС так, что сторона АС составляет с этой плоскостью угол в 30°. Найдите длину проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α, если АВ = 12 см.
0
(0 оценок)
2
Ответ:
Длина проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α равна 6√2 см.
Объяснение:
Требуется найти длину проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α.
Дано: ΔАВС - равносторонний;
А ∈ α; ВС || α;
АВ = 12 см;
сторона АС составляет с плоскостью α угол в 30°;
Найти: AD₁
Решение:
1. Рассмотрим ΔСАС₁ - прямоугольный.
⇒ ∠САС₁ = 30°;
АС = 12 см;
⇒ СС₁ = АС : 2 = 12 : 2 = 6 (см)
2. Рассмотрим ΔАВС - равносторонний.
AD - медиана, высота.
⇒ DC = BC : 2 = 12 :2 = 6 (см)
3. Рассмотрим ΔADC - прямоугольный.
По теореме Пифагора:
AD² = AC² - DC²
AD² = 144 - 36 = 108
AD = √108 = 6√3 (см)
3. Рассмотрим DCC₁D₁
DD₁ ⊥ α; CC₁ ⊥ α ⇒ DD₁ || CC₁
BC || α ⇒ BC || B₁C₁
⇒ DCC₁D₁ - параллелограмм.
⇒ DD₁ = CC₁ = 6 см
4. Рассмотрим ΔADD₁ - прямоугольный.
По теореме Пифагора:
AD₁² = AD² - DD₁² = 108 - 36 = 72
AD₁ = √72 = 6√2 (см)
Длина проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α равна 6√2 см.